11348. Окружность касается сторон угла с вершиной A
в точках P
и Q
. Расстояния от точек P
, Q
и A
до некоторой касательной к этой окружности равны u
, v
и w
соответственно. Докажите, что \frac{uv}{w^{2}}=\sin^{2}\frac{A}{2}
.
Решение. Пусть указанная в условии касательная пересекает стороны угла в точках B
и C
. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, противолежащие им стороны — a
, b
и c
, полупериметр треугольника ABC
— p
, проекции точек P
, Q
и A
на прямую BC
— P_{1}
, Q_{1}
и A_{1}
соответственно.
Рассмотрим случай, когда указанная в условии окружность — вневписанная окружность треугольника ABC
. Тогда
AP=p,~BP=p-AB=p-c,~CQ=p-b
(см. задачу 1750)
Из прямоугольных треугольников PP_{1}B
, QQ_{1}C
и AA_{1}B
получаем, что
u=PP_{1}=BP\sin\beta=(p-c)\sin\beta,~v=CQ\sin\gamma=(p-b)\sin\gamma,~
w=AB\sin\beta=c\sin\beta.
По теореме синусов \frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{c}{b}
. Значит,
\frac{uv}{w^{2}}=\frac{(p-c)\sin\beta\cdot(p-b)\sin\gamma}{c^{2}\sin^{2}\beta}=\frac{(p-c)(p-b)\sin\gamma}{c^{2}\sin\beta}=
=\frac{(p-c)(p-b)c}{c^{2}b}=\frac{(p-c)(p-b)}{bc}=\sin^{2}\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 5965). Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда указанная окружность — вписанная окружность треугольника ABC
.