11363. Из точки G
пересечения медиан треугольника ABC
опущены перпендикуляры GA_{1}
, GB_{1}
и GC_{1}
на прямые, содержащие стороны соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Найдите стороны треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, если BC=a
, AC=b
, AB=c
, а R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Ответ. B_{1}C_{1}=\frac{a\sqrt{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}{6R}
, A_{1}C_{1}=\frac{b\sqrt{2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}{6R}
, A_{1}B_{1}=\frac{c\sqrt{2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}{6R}
.
Решение. Пусть AM
— медиана треугольника ABC
. Тогда
AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{(2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{(2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}
(см. задачу 4014). Значит (см. задачу 1396),
B_{1}C_{1}=\frac{BC\cdot AG}{2R}=\frac{a\cdot\frac{1}{3}\sqrt{(2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}{2R}=\frac{a\sqrt{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}{6R}.
Аналогично,
A_{1}C_{1}=\frac{b\sqrt{2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}{6R},~A_{1}B_{1}=\frac{c\sqrt{2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}{6R}.