11377. Диагональ AC
четырёхугольника ABCD
является биссектрисой углов A
и C
этого четырёхугольника. На стороне BC
существует точка K
, отличная от B
, для которой AK=AB
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника ABK
, проходит через точку пересечения AC
и KD
.
Решение. Проведём окружность \Omega
с центром A
, проходящую через точки B
и K
. Пусть эта окружность пересекает CD
в точке M
. И четырёхугольник ABCD
, и окружность \Omega
симметричны относительно прямой AC
(см. задачу 1677), поэтому точка M
симметрична точке K
относительно AC
.
Пусть F
— точка пересечения хорд BM
и DK
окружности \Omega
. Поскольку точка D
симметрична B
, а точка M
— точке K
, точка K
лежит на оси симметрии, т. е. на прямой AC
. При этом из равенства хорд CD
и BK
следует равенство меньших дуг DM
и BK
, поэтому (см. задачу 26)
\angle BFK=\frac{\smile MD+\smile BK}{2}=\frac{2\smile BK}{2}=\smile BK=\angle BAK
(BAK
— центральный угол окружности \Omega
). Из точек A
и F
, лежащих по одну сторону от прямой BK
, отрезок BK
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, K
и F
лежат на одной окружности (см. задачу 12) — на окружности, описанной около треугольника ABK
. Следовательно, описанная окружность треугольника ABK
проходит через точку F
.