11378. Докажите, что окружность, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из вершины C
параллелограмма ABCD
на прямые AB
, BD
и DA
, проходит через центр параллелограмма.
Решение. Предположим, что угол при вершине A
параллелограмма острый. Обозначим его через \alpha
. Пусть K
, L
и M
— проекции точки C
на прямые AB
, BD
и DA
соответственно, O
— центр параллелограмма.
Из точек K
и L
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Вписанные в эту окружность углы KLC
и KBC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KLC=\angle KBC=\alpha.
Аналогично,
\angle MLC=\angle MDC=\alpha.
Следовательно,
\angle KLM=\angle KLC+\angle MLC=\alpha+\alpha=2\alpha.
Отрезок KO
— медиана прямоугольного треугольника AKC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
KO=\frac{1}{2}AC=AO,~\angle KOC=2\angle KAC
(см. задачу 1109). Аналогично,
MO=\frac{1}{2}AC,~\angle MOC=2\angle MAC.
Тогда
\angle KOM=\angle KOC+\angle MOC=2\angle KAC+2\angle MAC=
=2(\angle KAC+\angle MAC)=2\angle BAD=2\alpha=\angle KLM.
Таким образом, из точек O
и L
, лежащих по одну сторону от прямой KM
, отрезок KM
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки O
, L
, K
и M
лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. окружность, проходящая через точки K
, L
и M
, проходит и через точку O
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда угол A
тупой.