11386. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы BM
и CN
. Оказалось, что точки B
, C
, M
и N
лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
б) Пусть P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Найдите площадь четырёхугольника AMPN
, если MN:BC=2:5
, а BN=14
.
Ответ. \frac{70\sqrt{7}}{3}
.
Решение. а) Вписанные углы MCN
и MBN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Эти углы — половины углов при вершинах C
и B
треугольника ABC
, значит, равны углы ACB
и ABC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный, AC=AB
.
б) Биссектриса треугольника делит его стороны на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (см. задачу 1509), значит,
AM:MC=AB:BC=AC:BC=AN:NB,
поэтому MN\parallel BC
. Тогда треугольник MAN
подобен треугольнику CAB
, причём коэффициент подобия равен \frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{2}{5}
. Значит,
MN=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\cdot35=14,~AN=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\cdot14=\frac{28}{3},~
AB=AN+BN=\frac{28}{3}+14=\frac{70}{3}.
Пусть AK
— высота треугольника ABC
. По теореме Пифагора
AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{\left(\frac{70}{3}\right)^{2}-\left(\frac{35}{2}\right)^{2}}=\frac{35\sqrt{7}}{6}.
Кроме того, BP
— биссектриса треугольника ABK
, поэтому
\frac{AP}{PK}=\frac{AB}{BK}=\frac{\frac{70}{3}}{\frac{35}{2}}=\frac{4}{3},
значит,
AP=\frac{4}{7}AK=\frac{4}{7}\cdot\frac{35\sqrt{7}}{6}=\frac{10\sqrt{7}}{3}.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей (см. задачу 3018), следовательно,
S_{AMPN}=\frac{1}{2}MN\cdot AP=\frac{1}{2}\cdot14\cdot\frac{10\sqrt{7}}{3}=\frac{70\sqrt{7}}{3}.