11403. В остроугольном треугольнике из одной из вершин проведена высота, из другой — биссектриса, из третьей — медиана. Докажите, что проведённые биссектриса и медиана не могут разделить высоту на три равные части.
Решение. Пусть AA_{1}
— высота остроугольного треугольника ABC
, BB_{1}
— медиана, CC_{1}
— биссектриса, причём CC_{1}
и BB_{1}
пересекают высоту AA_{1}
в точках P
и Q
соответственно, и AP=PQ=QA_{1}
. Тогда CP
— биссектриса прямоугольного треугольника AA_{1}C
, поэтому CA:CA_{1}=AP:PA_{1}=1:2
(см. задачу 1509). Значит, AC=\frac{1}{2}A_{1}C
, т. е. гипотенуза AC
меньше катета CA_{1}
. Противоречие.
Если при тех же условиях AQ=QP=PA_{1}
, то достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABCD
. Тогда AD=BC
, а так как треугольник BPA_{1}
подобен треугольнику DPA
с коэффициентом 2, то BA_{1}=2AD=2BC
, что невозможно, так как треугольник ABC
остроугольный, поэтому основание каждой его высоты лежит на стороне, а не на её продолжении (см. задачу 127б).
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1999, № 168, с. 63, 9 класс, задача 3