11406. Три точки — пересечения высот, медиан и биссектрис остроугольного треугольника ABC
лежат на окружности с хордой AC
. Докажите, что треугольник ABC
правильный.
Решение. Пусть H
, O
и M
точки пересечения соответственно высот, биссектрис и медиан остроугольного треугольника ABC
. Эти три точки лежат внутри треугольника, так как он остроугольный.
Пусть BC=a
, CC_{1}
и AA_{1}=m
— медианы, а CC_{2}
— высота. Обозначим \angle ABC=\alpha
. По теореме о вписанных углах \angle AOC=\angle AHC
, или (см. задачи 1176 и 4770)
90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha,
откуда находим, что \alpha=60^{\circ}
. Тогда
\angle AMC=\angle AHC=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
а
CC_{2}=BC\sin\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Поскольку
\angle A_{1}MC_{1}+\angle A_{1}BC_{1}=\angle AMC+\angle ABC=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник BA_{1}MC_{1}
вписанный, а CA_{1}B
и CMC_{1}
— секущие, проведённые из точки C
к его описанной окружности. Значит (см. задачу 2636),
CA_{1}\cdot BC=CM\cdot CC_{1},~\mbox{или}~\frac{a}{2}\cdot a=\frac{2}{3}m\cdot m,
откуда CC_{1}=m=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Значит, CC_{1}=CC_{2}
, а так как CC_{2}\perp AB
, то точки C_{1}
и C_{2}
совпадают. Медиана CC_{1}
треугольника ABC
является его высотой, значит, треугольник ABC
равнобедренный. Один из его углов равен 60^{\circ}
, следовательно, треугольник равносторонний.