11418. В треугольнике ABC
проведена медиана BM
. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник BCM
, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC
?
Ответ. Не может.
Решение. Первый способ. Пусть периметр и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, равны P
и r
соответственно, а периметр и радиус окружности, вписанной в треугольник BCM
, равны P_{1}
и r_{1}
соответственно.
Предположим, что r=2r_{1}
. Тогда
S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}Pr_{1}
(см. задачи 3001 и 452). С другой стороны
S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2}P_{1}r_{1}.
Из равенства \frac{1}{2}Pr_{1}=\frac{1}{2}P_{1}r_{1}
, получаем, что P=P_{1}
, что невозможно, так как
P=AB+BC+(CM+AM)=(AB+AM)+BC+CM\gt
\gt BM+BC+CM=P_{1}.
Второй способ. Пусть радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
и BCM
, равны r
и r_{1}
соответственно.
Предположим, что r=2r_{1}
. Пусть прямая, проведённая через вершину A
параллельно BM
, пересекается с прямой BC
в точке D
. Тогда BM
— средняя линия треугольника ADC
, поэтому треугольник DCA
подобен треугольнику BCM
с коэффициентом 2. Значит, радиус r'
окружности, вписанной в треугольник DCA
вдвое больше радиуса окружности, вписанной в треугольник BCM
, т. е. r'=2r_{1}=r
, что невозможно, так как вписанная окружность треугольника ABC
касается прямой AD
, которая более удалена от вершины C
, чем прямая AB
.