11427. Биссектрисы углов A
, B
и C
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках D
, E
и F
соответственно. Докажите, что
AD+BE+CF\gt BC+AC+AB.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
, O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, R
и r
— их радиусы. Пусть M
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
.
Тогда (см. задачи 788 и 23)
ID=BD=2R\sin\frac{\alpha}{2},
а так как AI=\frac{OM}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}
, то
AD=AI+ID=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}+2R\sin\frac{\alpha}{2}.
Аналогично,
BE=\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}}+2R\sin\frac{\beta}{2},~CF=\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}+2R\sin\frac{\gamma}{2}.
Кроме того,
BC=2R\sin\alpha,~AC=2R\sin\beta,~AB=2R\sin\gamma.
Значит,
AD+BE+CF\gt BC+AC+AB~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~r\left(\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{\gamma}{2}}\right)+2R\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\right)\gt
\gt2R(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)
Учитывая, что
r=4R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 3225б),
\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=\cos\frac{\beta+\gamma}{2},~\sin\frac{\beta}{2}=\cos\frac{\alpha+\gamma}{2},~\sin\frac{\gamma}{2}=\cos\frac{\alpha+\beta}{2},
а также
2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\gamma}{2},
2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}-\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}=\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}-\sin\frac{\beta}{2},
2\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{\beta+\gamma}{2}=\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2},
получим, что последнее неравенство равносильно неравенству
\cos\frac{\beta-\gamma}{2}+\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}+\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\gt\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma,
а это неравенство верно, так как
\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\gt\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\sin\frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{1}{2}(\sin\beta+\sin\gamma),
\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}\gt\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}=\frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\gamma),
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\gt\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\beta).
Отсюда следует утверждение задачи.