11470. Окружность, проходящая через вершины A
и B
треугольника ABC
, пересекает стороны AC
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Медиана из вершины C
делит меньшую дугу PQ
этой окружности пополам. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Пусть M
— середина стороны AB
, K
— середина дуги PQ
, лежащая на отрезке CM
, B'
— точка, симметричная точке B
относительно медианы CM
.
Предположим противное. Тогда точка B'
отлична от A
, AB'\parallel CM
(по теореме о средней линии треугольника) и
\angle CAK=\angle PAK=\angle QBK=\angle CB'K.
Из точек A
и B'
, лежащих по одну сторону от прямой CK
, отрезок CK
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B'
, C
и K
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Таким образом, CK
и AB'
— основания вписанной, а следовательно, равнобочной трапеции AB'CK
(см. задачу 5003). У неё равные боковые стороны и равные диагонали, т. е.
AK=CB'=CB,~AC=KB'=KB,
и треугольники AKB
и BCA
равны по трём сторонам. Противоречие: один из двух равных треугольников не может лежать внутри другого (например, потому, что у них разные периметры).
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Автор: Максимов Д.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 11 класс