11498. В остроугольном треугольнике
ABC
(
AB\lt BC
) провели высоту
BH
. Точка
P
симметрична точке
H
относительно прямой, соединяющей середины сторон
AC
и
BC
. Докажите, что прямая
BP
содержит центр описанной окружности треугольника
ABC
.
Решение. Первый способ. Отметим середины
M
и
N
сторон
BC
и
AC
соответственно (рис. 1). Заметим, что треугольник
BHC
прямоугольный, а точка
M
— середина его гипотенузы
BC
. Значит,
MB=MC=MH
. Поскольку точки
H
и
P
симметричны относительно прямой
MN
, то
MH=MP
. Следовательно, точки
B
,
H
,
P
и
C
лежат на одной окружности с центром в точке
M
. Отсюда
\angle PBC=\angle PHC
, так как эти углы опираются на одну дугу
PC
.
Обозначим точку пересечения прямых
PH
и
AB
через
X
. Заметим, что
PH\perp MN
из-за симметрии точек
H
и
P
относительно прямой
MN
. Кроме того,
MN\parallel AB
как средняя линия треугольника
ABC
. Таким образом,
PH\perp AB
. Отсюда следует, что
\angle PBC=\angle PHC=\angle AHX=90^{\circ}-\angle BAC.

С другой стороны, заметим, что если точка
O
—центр описанной окружности треугольника
ABC
, то
\angle BOC=2\angle BAC
как центральный угол. Тогда из суммы углов равнобедренного треугольника
BOC
получаем, что
\angle BOC=90^{\circ}-\angle BAC
. Тогда
\angle OBC=90^{\circ}-\angle BAC,

а значит, точки
B
,
O
, и
P
действительно лежат на одной прямой.
Второй способ. Воспользуемся теоремой о прямой Штейнера.
Прямая Штейнера. Точки, симметричные произвольной точке
L
описанной окружности треугольника
MNK
относительно его сторон, лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника
MNK
(см. задачу 4877).
Несложно заметить, что точка
H
(рис. 2) лежит на окружности, проходящей через середины сторон треугольника
ABC
(это окружность девяти точек треугольника
ABC
, см. задачу 174). По условию точка
P
симметрична точке
H
относительно средней линии, параллельной стороне
AB
. Заметим, что точка
B
симметрична точке
H
относительно средней линии, параллельной стороне
AC
. Получается, что прямая
BP
— это прямая Штейнера точки
H
относительно серединного треугольника (треугольника, образованного серединами сторон треугольника
ABC
). Тогда на этой прямой лежит ортоцентр серединного треугольника, который и является центром описанной окружности треугольника
ABC
.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2020, LXXXIII, 9 класс, задача 4