11510. На большем основании AB
трапеции ABCD
выбрана произвольная точка M
и через эту точку проведены прямые, параллельные диагоналям трапеции до пересечения со сторонами BC
и AD
в точках N
и K
соответственно. Пусть отрезок KN
пересекает диагонали AC
и BD
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что отрезки KP
и QN
равны.
Решение. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O
, отрезки AC
и KM
— в точке R
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{KP}{PN}=\frac{KR}{RM}
(см. задачу 1044), а по теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых — \frac{KR}{RM}=\frac{DO}{OB}
(см. задачу 1597). Значит, \frac{KP}{PN}=\frac{DO}{OB}
. Аналогично, \frac{QN}{QK}=\frac{CO}{OA}
.
Из подобия треугольников COD
и AOB
получаем, что \frac{DO}{OB}=\frac{CO}{OA}
. Значит, \frac{KP}{PN}=\frac{QN}{QK}
, или
\frac{KP}{PQ+QN}=\frac{QN}{PQ+KP}~\Rightarrow~KP\cdot PQ+KP^{2}=PQ\cdot QN+QN^{2}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~PQ(KP-QN)+KP^{2}-QN^{2}=0~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(KP-QN)(PQ+KP+QN)=0~\Rightarrow~KP=QN.