11514. Точки A
, B
, C
и D
лежат на окружности с центром I
. Серединные перпендикуляры к отрезкам AD
и BC
пересекают прямую AB
в точках P
и Q
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников IPQ
и ICD
, касаются.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть серединный перпендикуляр к отрезку AD
пересекают данную окружность S_{0}
с центром I
в точках G
и H
(G
лежит на дуге AB
, не содержащей точки C
), а серединный перпендикуляр к отрезку BC
пересекает эту окружность в точках E
и L
(E
лежит на дуге AB
, не содержащей точки C
). Тогда GH
и EL
— диаметры окружности S_{0}
.
Пусть радиусы IC
и ID
пересекают описанную окружность S_{2}
равнобедренного треугольника CDI
в точках M
и K
соответственно, а точка P
лежит между A
и Q
.
Обозначим \angle MIQ=\angle CIL=\alpha
. Тогда градусная мера меньшей дуги MQ
окружности S_{1}
равна 2\alpha
. Градусная мера дуги BLC
окружности S_{0}
также равна 2\alpha
, так как BIC
— центральный угол этой окружности.
Пусть DF
— ещё один диаметр окружности S_{0}
. Обозначим \angle QPI=\angle BPG=\beta
. Тогда угловая величина меньшей дуги IQ
окружности S_{2}
равна 2\beta
. С другой стороны, так как
\beta=\angle QPI=\angle BPG=\frac{\smile AH+\smile BG}{2}=\frac{\smile HD+\smile GF}{2}=\frac{1}{2}\smile BGF
(см. задачу 26), то угловая величина дуги BGF
также равна 2\beta
. Следовательно, угловые величины дуг MQI
и CBF
равны. Аналогично, равны угловые величины дуг KPI
и DAE
. Следовательно, \smile KPI=\smile MQI
.
Пусть O
— центр окружности S_{2}
. Поскольку треугольник CID
равнобедренный, точка O
лежит на биссектрисе угла CID
. Значит, диаметр окружности S_{2}
, проходящий через точку O
, делит пополам меньшую дугу KM
окружности S_{1}
(см. задачу 430), а так как равны дуги KPI
и MQI
, то диаметр окружности S_{1}
лежит на прямой IO
. Значит, прямая IO
содержит диаметры окружностей S_{1}
и S_{2}
. Следовательно, эти окружности касаются в точке I
.
Аналогично для любого другого случая.