11529. Через вершину
A
треугольника
ABC
и основание биссектрисы угла
A
проведена окружность
S
, пересекающая стороны
AC
и
BC
в точках
K
и
L
. Докажите, что если
KL\parallel CB
, то окружность
S
касается
BC
.
Решение. Пусть точки
K
и
L
лежат на сторонах соответственно
AC
и
AB
треугольника
ABC
, а
AM
— биссектриса треугольника. Поскольку
KL\parallel CB
, а вписанные углы
MLK
и
MAK
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle LMB=\angle MLK=\angle MAK=\angle MAL.

Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая
BC
— касательная к окружности
S
(см. задачу 144).
Примечание. Верно и обратное: если окружность касается стороны
BC
в основании биссектрисы и пересекает стороны
AC
и
BC
в точках
K
и
L
, то
KL\parallel CB
(см. задачу 3474а).
Автор: Карасёв Р. Н.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1998-1999, 9 класс