11529. Через вершину A
треугольника ABC
и основание биссектрисы угла A
проведена окружность S
, пересекающая стороны AC
и BC
в точках K
и L
. Докажите, что если KL\parallel CB
, то окружность S
касается BC
.
Решение. Пусть точки K
и L
лежат на сторонах соответственно AC
и AB
треугольника ABC
, а AM
— биссектриса треугольника. Поскольку KL\parallel CB
, а вписанные углы MLK
и MAK
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle LMB=\angle MLK=\angle MAK=\angle MAL.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая BC
— касательная к окружности S
(см. задачу 144).
Примечание. Верно и обратное: если окружность касается стороны BC
в основании биссектрисы и пересекает стороны AC
и BC
в точках K
и L
, то KL\parallel CB
(см. задачу 3474а).
Автор: Карасёв Р. Н.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1998-1999, 9 класс