11584. Биссектрисы углов
A
и
C
трапеции
ABCD
пересекаются в точке
P
, а биссектрисы углов
B
и
D
— в точке
Q
, отличной от
P
. Докажите, что если отрезок
PQ
параллелен основанию
AD
, то трапеция равнобокая.
Решение. Обозначим через
\rho(X,YZ)
расстояние от точки
X
до прямой
YZ
. Поскольку точка
P
лежит на биссектрисе угла
C
, имеем
\rho(P,BC)=\rho(P,CD)
(см. задачу 1138). Аналогично,
\rho(Q,AB)=\rho(Q,BC)
. Но
QP\parallel BC
, поэтому
\rho(Q,BC)=\rho(P,BC)
, откуда
(Q,AB)=\rho(P,CD)
. Аналогично,
\rho(P,AB)=\rho(P,AD)=\rho(Q,AD)=\rho(Q,CD).

Продолжим боковые стороны
AB
и
CD
до пересечения в точке
S
. Пусть точка
P'
симметрична
Q
относительно биссектрисы
l
угла
ASD
. Тогда из симметрии
\rho(P',CD)=\rho(Q,AB)=\rho(P,CD)~\mbox{и}~\rho(P',AB)=\rho(Q,CD)=\rho(P,AB).

Таким образом, точки
P
и
P'
лежат внутри угла
ASD
на прямых, параллельных
AB
и
CD
и отстоящих от них на расстояния
\rho(P,AB)
и
\rho(P,CD)
соответственно (см. задачу 2398). Эти прямые не параллельны, поэтому у них только одна точка пересечения. Значит, точки
P'
и
P
совпадают, точки
P
и
Q
симметричны относительно биссектрисы угла
ASD
, и
l\perp PQ\parallel AD
. Итак, в треугольнике
SAD
биссектриса является высотой, углы при его основании равны, т. е. трапеция
ABCD
— равнобокая.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2009-2010, II, заключительный этап, второй день, задача 8