11607. На сторонах BC
и BA
треугольника ABC
выбраны соответственно точки D
и E
, причём DE\parallel AC
. Оказалось, что биссектрисы углов AED
и EDC
пересекаются в точке F
, лежащей на стороне AC
. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, является центром окружности, описанной около треугольника EDF
.
Решение. Луч DF
— биссектриса угла AED
, а прямые AE
и AC
параллельны, поэтому
\angle AFE=\angle DEF=\angle AEF.
Значит, треугольник AEF
равнобедренный, AE=EF
. Аналогично, CD=CF
. Биссектрисы углов при вершинах A
и C
равнобедренных треугольников AEF
и CDF
лежат на серединных перпендикулярах к основаниям EF
и DF
. Тогда точка пересечения этих биссектрис — центр описанной окружности треугольника EDF
(см. задачу 1142). С другой стороны, это точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр вписанной окружности этого треугольника (см. задачу 1140). Что и требовалось доказать.