11613. На основании AD
равнобокой трапеции ABCD
выбрана точка K
. Прямые BK
и CK
вторично пересекают окружность, описанную около трапеции ABCD
, в точках M
и N
соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника KMN
, касается прямой AD
.
Решение. Меньшие дуги AB
и CD
заключены между параллельными хордами AD
и BC
, поэтому \smile AB=\smile CD
. Тогда (см. задачу 26)
\angle AKN=\frac{1}{2}(\smile AN+\smile CD)=\frac{1}{2}(\smile AN+\smile AB)=\frac{1}{2}\smile NAB=\angle NMB.
Следовательно (см. задачу 144), прямая AD
— касательная к описанной окружности треугольника KMN
.