11636. Биссектрисы углов A
и B
треугольника ABC
пересекают окружность, построенную на стороне AB
как на диаметре, в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что прямая XY
перпендикулярна биссектрисе угла C
.
Решение. Пусть \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Если \alpha=\beta
, утверждение очевидно.
Предположим, что \alpha\lt\beta
. Тогда прямые XY
и AB
пересекаются в некоторой точке P
. Пусть \smile BX
и \smile AY
— угловые величины меньших дуг BX
и AY
. Тогда
\angle BPX=\frac{1}{2}(\smile BX-\smile AY)=\frac{1}{2}(\alpha-\beta).
(см. задачу 27).
Пусть CL
— биссектриса треугольника ABC
. Проведём высоту CH
треугольника ABC
. Тогда
\angle LCH=\frac{1}{2}(\angle BAC-\angle ABC)=\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\angle BPX
(см. задачу 1106).
Пусть Q
— точка пересечения XY
и CL
. В треугольниках CHL
и PQL
углы при вершинах C
и P
равны, а угол при вершине L
— общий, значит,
\angle PQL=\angle CHL=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда \alpha\lt\beta
.
Примечание. То, что AB
— диаметр окружности, несущественно. Утверждение задачи остаётся верным для любой окружности, проходящей через точки A
и B
.