11682. На основании равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, которая пересекает боковые стороны в точках M
и N
. Найдите угол при вершине треугольника, если отрезок MN
равен полуразности боковой стороны и основания.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Пусть окружность пересекает боковые стороны AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
в точках M
и N
соответственно. Тогда AN
и CM
— высоты треугольника.
На продолжениях отрезков AN
и CM
за точки N
и M
отложим отрезки NA_{1}=AN
и MC_{1}=CM
. Тогда высоты BN
и BM
треугольников ABA_{1}
и CBC_{1}
являются медианами, поэтому треугольники равнобедренные. Значит,
BA_{1}BA=BC=BC_{1},~\angle CAA_{1}=\angle ABC=\angle ABC_{1}.
Из симметрии получаем, что ACA_{1}C_{1}
— равнобокая трапеция с основаниями AC
и A_{1}C_{1}
. Точки M
и N
—середины её диагоналей CC_{1}
и AA_{1}
. Известно, что отрезок MN
равен полуразности оснований (см. задачу 1226), а так как по условию этот отрезок MN
равен полуразности боковой стороны и основания треугольника ABC
, то
BA_{1}=BC_{1}=BA=A_{1}C_{1}.
Значит, треугольник A_{1}BC_{1}
равносторонний. Тогда утроенный угол ABC
равен либо 60^{\circ}
, либо 300^{\circ}
. Второй случай невозможен, поскольку угол ABC
острый, так как точка B
лежит вне окружности с диаметром AC
(см. задачу 1772). Следовательно, \angle ABC=20^{\circ}
.