11692. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников, на которые медиана BM
разбивает прямоугольный треугольник ABC
(\angle B=90^{\circ}
). Найдите \angle O_{1}BO_{2}
.
Ответ. 90^{\circ}
Решение. Поскольку O_{1}B=O_{1}M
и O_{2}B=O_{2}M
, треугольники O_{1}BO_{2}
и O_{1}MO_{2}
равны по трём сторонам, и \angle O_{1}MO_{2}=\angle O_{1}BO_{2}
. Треугольники AMB
и BMC
равнобедренные (см. задачу 1109), поэтому MO_{1}
и MO_{2}
—их биссектрисы. Тогда
\angle O_{1}MO_{2}=\angle AMC=90^{\circ}
(см. задачу 937). Следовательно, и угол O_{1}BO_{2}
прямой.