11698. Точка D
вне остроугольного треугольника ABC
такова, что
\angle ABC+\angle ABD=\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ}.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на отрезке AD
.
Решение. Из условия задачи следует, что углы, смежные с углами ABD
и ACD
, равны соответственно углам ABC
и ACB
. Пусть K
и L
— точки на продолжении отрезков соответственно DB
и AB
за точку B
. Тогда
\angle ABK=\angle DBL=\angle ABC,
поэтому луч BA
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника BCD
. Аналогично, луч CA
— биссектриса внешнего угла при вершине C
этого треугольника. Через точку A
их пересечения проходит биссектриса DA
внутреннего угла при вершине D
треугольника BCD
(см. задачу 1192).
Биссектрисы внутренних углов B
и C
треугольника BCD
перпендикулярны BA
и CA
(см. задачу 937); их точка пересечения E
лежит на третьей биссектрисе — на луче DA
, а значит, на отрезке AD
. На отрезке AD
лежит и точка O
— середина общей гипотенузы AE
прямоугольных треугольников ABE
и ACE
. Тогда точки A
, B
и C
лежат на окружности с центром O
и радиусом \frac{1}{2}AE
. Отсюда следует утверждение задачи.