11712. Отрезок CD
— биссектриса треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точку A
и касающаяся биссектрисы в точке D
, вторично пересекает прямую AC
в точке A_{1}
. Окружность, проходящая через точку B
и касающаяся биссектрисы в точке D
, вторично пересекает прямую BC
в точке B_{1}
. Докажите, что окружность, симметричная описанной около треугольника A_{1}B_{1}C
относительно прямой CD
, касается стороны AB
.
Решение. Рассмотрим окружность \Omega
, проходящую через точку C
и касающуюся стороны AB
в точке D
. Пусть она пересекает стороны AC
и BC
соответственно в точках A_{2}
и B_{2}
. Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой следует (см. задачу 87), что
\angle ADA_{2}=\angle DCA_{2}=\frac{1}{2}\angle C.
Значит,
\angle A_{2}DC=\angle ADC-\angle A_{2}DA=\angle ADC-\angle DCB=\angle B,
поэтому треугольники CA_{2}D
и CDB
подобны по двум углам. Тогда \frac{CA_{2}}{CD}=\frac{CD}{CB}
, откуда CA_{2}\cdot CB=CD^{2}
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) CB_{1}\cdot CB=CD^{2}
, поэтому CA_{2}=CB_{1}
. Аналогично CB_{2}=CA_{1}
. Значит, при симметрии относительно биссектрисы CD
треугольник A_{1}B_{1}C
переходит в треугольник B_{2}A_{2}C
. Следовательно, окружность \Omega
, касающаяся прямой AB
в точке D
, симметрична описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C
относительно прямой CD
.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 263, с. 56