11732. В четырёхугольнике ABCD
угол B
тупой, M
— середина CD
. Докажите, что AM+BM\lt AC+AD
.
Решение. Пусть E
— середина диагонали AC
. Поскольку в треугольнике ABC
угол B
тупой, медиана BE
меньше половины стороны AC
(см. задачу 3550), т. е. BE\lt\frac{1}{2}AC
. Кроме того, EM=\frac{1}{2}AD
как средняя линия треугольника ACD
. Значит,
BM\leqslant BE+EM\lt\frac{1}{2}(AC+AD).
В то же время, AM\lt\frac{1}{2}(AC+AD)
(см. задачу 3504). Сложив эти два неравенства, получим, что
AM+BM\lt\frac{1}{2}(AC+AD)+\frac{1}{2}(AC+AD)=AC+AD.
Что и требовалось доказать.
Автор: Блинков Ю. А.
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. XVII турнир математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2012. — № 178, с. 45