11735. В треугольнике ABC
медиана, проведённая из вершины A
, перпендикулярна биссектрисе угла B
. Докажите, что угол C
не больше 30^{\circ}
.
Решение. Пусть K
— середина BC
. Треугольник ABK
равнобедренный, так как его биссектриса совпадает с высотой, значит, BC=2BK=AB
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Проведём через точки A
и B
окружность радиуса AB
(так, чтобы большая дуга AB
оказалась в той же полуплоскости, что и треугольник ABC
), хордой которой является AB
. Тогда из центра O
этой окружности хорда AB
видна под углом 60^{\circ}
. Расстояние от C
до B
равно диаметру окружности, поэтому точка C
лежит не внутри этой окружности, а значит,
\angle C\leqslant\frac{1}{2}\angle AOB=30^{\circ}.
Второй способ. Пусть точка B'
симметрична точке B
относительно прямой AC
. Тогда
BB'\leqslant AB+AB'=2AB=BC=B'C,
поэтому в треугольнике BCB'
против стороны BB'
лежит наименьший угол (см. задачу 3499). Значит, \angle BCB'\leqslant60^{\circ}
(см. задачу 1197). Следовательно,
\angle C=\frac{1}{2}\angle BCB'\leqslant30^{\circ}.