11741. В треугольнике ABC
проведены биссектриса AL
и высота BH
. Оказалось, что серединный перпендикуляр к отрезку LH
пересекает сторону AB
в её середине. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Пусть M
— середина стороны AB
. Тогда HM
— медиана прямоугольного треугольника ABH
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому HM=\frac{1}{2}AB
(см. задачу 1109), а так как точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку LH
, то LM=HM=\frac{1}{2}AB
. Значит, треугольник ALB
прямоугольный с прямым углом при вершине L
(см. задачу 1188), т. е. AL
— высота треугольника ABC
. Высота AL
треугольника ABC
является его биссектрисой, следовательно, треугольник ABC
равнобедренный, AC=AB
. Что и требовалось доказать.