11794. В прямоугольном треугольнике ABC
(\angle B=90^{\circ}
) проведена медиана BM
. Вписанная окружность треугольника ABM
касается сторон AM
и BM
в точках K
и L
. Вписанная окружность треугольника CBM
касается сторон CM
и BM
в точках P
и Q
. Докажите, что точка пересечения прямых KL
и PQ
лежит на биссектрисе треугольника ABC
.
Решение. Пусть точка K
лежит на AM
, точка P
— на CM
, точки L
и Q
— на BM
. Опустим перпендикуляры KX
и PY
на стороны AB
и CB
соответственно. Треугольник AMB
равнобедренный (см. задачу 1109), поэтому вписанная в него окружность касается стороны AB
в её середине N
, а прямая KL
параллельна AB
и удалена от неё на расстояние KX
. Аналогично для прямой PQ
. Кроме того,
AK=AN=BN=\frac{1}{2}AB.
Из подобия треугольников AXK
и ABC
получаем
KX=BC\cdot\frac{AK}{AC}=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{AN\cdot BC}{AC}=\frac{AB\cdot BC}{2AC}.
Аналогично, PY=\frac{AB\cdot BC}{2AC}=KX
.
Точка пересечения прямых KL
и PQ
лежит на прямых KL
и PQ
, удалённых от прямых соответственно AB
и BC
на равные расстояния, значит, она равноудалена от эти прямых. Следовательно, она лежит на биссектрисе прямого угла (см. задачу 1138).