11800. Пусть O_{a}
— центр квадрата KLMN
, вписанного в треугольник ABC
так, что точки K
и N
лежат на стороне BC
, L
— на AB
, M
— на AC
. Точки O_{b}
и O_{c}
определяются аналогично. Докажите, что прямые AO_{a}
, BO_{b}
, CO_{c}
пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Проведём через точку O_{a}
прямую, параллельную BC
и пересекающую стороны треугольника AB
и AC
в точках B_{1}
и C_{1}
, а стороны квадрата LK
и MN
— в точках K_{1}
и N_{1}
соответственно.
Если принять половину стороны квадрата KLMN
за единицу, то из прямоугольных треугольников LB_{1}K_{1}
и MC_{1}N_{1}
получаем, что
B_{1}K_{1}=\ctg\beta,~C_{1}N_{1}=\ctg\gamma.
Прямая AO_{a}
делит отрезки BC
и B_{1}C_{1}
в одинаковом отношении (см. задачу 1597), которое равно
\frac{B_{1}O_{a}}{C_{1}O_{a}}=\frac{B_{1}K_{1}+K_{1}O_{a}}{C_{1}N_{1}+N_{1}O_{a}}=\frac{\ctg\beta+1}{\ctg\gamma+1}.
Аналогично доказывается, что прямая BO_{b}
делит сторону CA
в отношении \frac{\ctg\gamma+1}{\ctg\alpha+1}
, а прямая CO_{c}
сторону AB
— в отношении \frac{\ctg\alpha+1}{\ctg\beta+1}
.
Пусть прямые AO_{a}
, BO_{b}
и CO_{c}
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно. Тогда
\frac{AC_{2}}{C_{2}B}\cdot\frac{BA_{2}}{A_{2}C}\cdot\frac{CB_{2}}{C_{2}A}=\frac{\ctg\alpha+1}{\ctg\beta+1}\cdot\frac{\ctg\beta+1}{\ctg\gamma+1}\cdot\frac{\ctg\gamma+1}{\ctg\alpha+1}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые AO_{a}
, BO_{b}
и CO_{c}
пересекаются в одной точке.