11809. В окружность с центром O
вписан неравносторонний треугольник ABC
с указанным ортоцентром H
. Одной линейкой разделите треугольник ABC
на две равновеликие фигуры — треугольник и четырёхугольник.
Решение. Точки O
и H
различны, поэтому можно провести одну из высот треугольника так, чтобы точка O
на ней не лежала. Допустим, это высота AD
и точка O
лежит внутри треугольнике ABD
.
Проведём прямую AO
до пересечения с описанной окружностью в точке E
. Пусть прямые HE
и BC
пересекаются в точке M
. Тогда M
— середина стороны BC
(см. задачу 6300). Если F
— точка пересечения прямых OM
и AB
, то DF
— искомая прямая.
Действительно, OM
— серединный перпендикуляр к стороне BC
, поэтому OM\parallel AD
. Следовательно,
S_{\triangle MDF}=S_{\triangle MAF}~\mbox{и}~S_{\triangle BDF}=S_{\triangle BMA}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC},
так как медиана AM
делит площадь треугольника ABC
пополам (см. задачу 3001).