11829. В окружность радиуса R
вписан треугольник ABC
и в каждый из образовавшихся сегментов, дуга которого не содержит вершину треугольника, вписана окружность, касающаяся хорды в её середине. Докажите, что:
\mbox{а})~r_{1}+r_{2}+r_{3}=R-\frac{1}{2}r;~\mbox{б})~\frac{3}{4}R\leqslant r_{1}+r_{2}+r_{3}\lt R,
где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
— радиусы окружностей, вписанных в сегменты.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
, \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
, C
соответственно, а через a
, b
и c
— противолежащие им стороны.
Пусть окружность радиуса r_{1}
, вписанная в сегмент, отсекаемый от описанной окружности треугольника ABC
хордой BC
, касается хорды BC
в её середине M
, а дуги BC
, не содержащей точки A
, — в точке N
. Тогда AN
— биссектриса вписанного угла BAC
(см. задачу 430), 7поэтому
\angle MBN=\angle CBN=\angle CAN=\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов a=BC=2R\sin\alpha
. Из прямоугольного треугольника BMN
находим, что
2r_{1}=MN=BM\tg\angle MBN=\frac{a}{2}\cdot\tg\frac{\alpha}{2}=R\sin\alpha\tg\frac{\alpha}{2}=
=2R\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2R\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=R(1-\cos\alpha).
Аналогично,
2r_{2}=R(1-\cos\beta),~2r_{3}=R(1-\cos\gamma).
Следовательно,
r_{1}+r_{2}+r_{3}=\frac{1}{2}R(3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma).
а) Поскольку
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac{r}{R}
(см. задачу 3238), то
r_{1}+r_{2}+r_{3}=\frac{1}{2}R(3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma)=\frac{1}{2}R\left(3-1-\frac{r}{R}\right)=R-\frac{1}{2}r.
б) Поскольку
1\lt\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leqslant\frac{3}{2}
(см. задачу 4157а), то
-\frac{3}{2}\leqslant-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma\lt-1,
поэтому
\frac{1}{2}R\left(3-\frac{3}{2}\right)\leqslant r_{1}+r_{2}+r_{2}\lt\frac{1}{2}R(3-1).
Следовательно,
\frac{3}{4}R\leqslant r_{1}+r_{2}+r_{2}\lt R