11834. Прямая, проходящая через вершину C
равнобедренного треугольника ABC
, пересекает основание AB
в точке D
. В треугольниках ACD
и BCD
проведены биссектрисы CE
и CF
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CEF
, если BC=a
и CD=b
.
Ответ. \frac{ab}{a+b}
.
Решение. Первый способ. Положим \angle ACD=2\alpha
, \angle BCD=2\beta
. Тогда (см. задачу 4021)
CE=\frac{2ab\cos\alpha}{a+b},~CF=\frac{2ab\cos\beta}{a+b}.
На луче CD
отметим точку M
, для которой \angle CEM=90^{\circ}
. Тогда
CM=\frac{CE}{\cos\alpha}=\frac{\frac{2ab\cos\alpha}{a+b}}{\cos\alpha}=\frac{ab}{a+b}.
На луче CD
отметим точку N
, для которой \angle CFN=90^{\circ}
. Аналогично получим, что CN=\frac{ab}{a+b}=CM
. Значит, точки M
и N
совпадают, а CM
— диаметр окружности, описанной около треугольника CEF
. Следовательно, радиус этой окружности равен \frac{ab}{a+b}
.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку D
параллельно стороне AC
, пересекает луч CD
в точке O
. Тогда
\frac{CO}{OD}=\frac{AE}{ED}=\frac{AC}{AD}=\frac{a}{b}=\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{FD}
(см. задачу 1509). Значит, FO\parallel BC
, а так как треугольники COE
и COF
равнобедренные, то OE=OC=OF
, поэтому O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а OC=R
— её радиус.
Треугольник EOD
подобен треугольнику ACD
, поэтому
\frac{R}{a}=\frac{DE}{AD}=\frac{b}{a+b}.
Следовательно, R=\frac{ab}{a+b}
.