11840. Продолжения высот AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
пересекают описанную около него окружность радиуса R
в точках P
и Q
. Найдите PQ
, если R=5
и AB=8
.
Ответ. \frac{48}{5}
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, точка P
лежит на луче AA_{1}
, а точка Q
— на луче BH
. Тогда A_{1}
и B_{1}
— середины отрезков PH
и QH
соответственно (см. задачу 4785), поэтому PQ=2A_{1}B_{1}
.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. По теореме синусов
\sin\gamma=\frac{AB}{2R}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.
Тогда |\cos\gamma|=\frac{3}{5}
.
Треугольник A_{1}CB_{1}
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом k=|\cos\gamma|
(см. задачу 19), поэтому
A_{1}B_{1}=AB|\cos\gamma|=8\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}.
Следовательно,
PQ=2A_{1}B_{1}=2\cdot\frac{24}{5}=\frac{48}{5}=9{,}6.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 493, с. 130