11852. В окружность радиуса R
вписан равнобедренный треугольник. Найдите длины трёх его медиан, если известно, что их сумма равна 4R
.
Ответ. \frac{14}{9}R
, \frac{14}{9}R
, \frac{8}{9}R
.
Решение. Пусть AM
, BP
и CQ
— медианы равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
. Положим \angle BAC=x
. Тогда по теореме синусов (см. задачу 23)
BC=2R\sin2x,~AC=AB=2R\sin(90^{\circ}-x)=2R\cos x,
AM=AB\cos x=2R\cos^{2}x.
По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
CQ=BP=\frac{1}{2}\sqrt{2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+2BC^{2}}=
=\frac{1}{2}\sqrt{4R\cos^{2}x+8R^{2}\sin^{2}2x}=R\cos x\sqrt{1+8\sin^{2}x}.
По условию
2R\cos x\sqrt{1+8\sin^{2}x}+2R\cos^{2}x=4R,
или
\cos x\sqrt{1+8\sin^{2}x}=2-\cos^{2}x.
После очевидных преобразований получаем уравнение
9\cos^{4}x-13\cos^{2}x+4=0,
из которого находим, что \cos x=1
или \cos x=\frac{2}{3}
, а так как 0^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}
, то \cos x=\frac{2}{3}
.
Следовательно,
\sin^{2}x=\frac{5}{9},~CQ=BP=R\cos x\sqrt{1+8\sin^{2}x}=\frac{2}{3}R\sqrt{1+\frac{40}{9}}=\frac{14}{9}R,
AM=4R-2BP=4R-\frac{28}{9}R=\frac{8}{9}R.