11856. Диагонали трапеции ABCD
с основаниями BC=p
и AD=q
пересекаются в точке O
. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AOB
равна S
.
Ответ. \frac{S(p+q)^{2}}{pq}
.
Решение. Заметим, что
S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}=S
(см. задачу 3017).
Пусть площади треугольников BOC
и AOD
равны S_{1}
и S_{2}
соответственно. Тогда
S_{1}=S\cdot\frac{BC}{AD}=S\cdot\frac{p}{q},~S_{1}=S\cdot\frac{AD}{BC}=S\cdot\frac{q}{p}
(см. задачу 3000). Следовательно,
S_{ABCD}=S_{1}+S_{2}+2S=S\cdot\frac{p}{q}+S\cdot\frac{q}{p}+2S=S\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}+2\right)=\frac{S(p+q)^{2}}{pq}.