11857. На основании AB
трапеции ABCD
взята точка M
. Через точку O
пересечения прямых AD
и BC
проведена прямая OM
, пересекающая сторону CD
в точке N
. Отрезки AN
и DM
пересекаются в точке P
, а отрезки CM
и BN
— в точке Q
. Докажите, что площадь четырёхугольника MQNP
не зависит от выбора точки M
на основании AB
. Найдите отношение площади четырёхугольника MQNP
к площади трапеции ABCD
, если AB=a
и CD=b
.
Ответ. \frac{ab}{(a+b)^{2}}
.
Решение. Обозначим
S_{\triangle MNP}=S_{1},~S_{\triangle NMQ}=S_{2},~S_{AMND}=S_{3},~S_{MBCN}=S_{4},~S_{ABCD}=S,
AM=x_{1},~BM=x_{2},~DN=y_{1},~CN=y_{2}.
Тогда (см. задачу 11856)
S_{1}=\frac{S_{3}x_{1}y_{1}}{(x_{1}+y_{1})^{2}},~S_{2}=\frac{S_{4}x_{2}y_{2}}{(x_{2}+y_{2})^{2}}.
По теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597)
\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=\frac{a}{b},
поэтому
\frac{S_{1}}{S_{3}}=\frac{x_{1}y_{1}}{(x_{1}+y_{1})^{2}}=\frac{\frac{x_{1}}{y_{1}}}{\left(\frac{x_{1}}{y_{1}}+1\right)^{2}}=\frac{\frac{a}{b}}{\left(\frac{a}{b}+1\right)^{2}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}.
Аналогично, \frac{S_{2}}{S_{4}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}
. Тогда
\frac{x_{1}y_{1}}{(x_{1}+y_{1})^{2}}=\frac{x_{2}y_{2}}{(x_{2}+y_{2})^{2}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}.
Значит,
S_{1}+S_{2}=\frac{S_{3}x_{1}y_{1}}{(x_{1}+y_{1})^{2}}+\frac{S_{4}x_{2}y_{2}}{(x_{2}+y_{2})^{2}}=\frac{S_{3}ab}{(a+b)^{2}}+\frac{S_{4}ab}{(a+b)^{2}}=
=\frac{ab}{(a+b)^{2}}\cdot(S_{3}+S_{4})=\frac{Sab}{(a+b)^{2}},
т. е. S_{MQNP}=\frac{Sab}{(a+b)^{2}}
. Следовательно, искомое отношение не зависит от положения точки M
на основании AB
и равно \frac{ab}{(a+b)^{2}}
.