11866. а) Найдите зависимость между сторонами равнобедренного треугольника ABC
, в котором BC=a
, AB=AC=b
и \angle A=36^{\circ}
.
б) Выразите сторону правильного десятиугольника a_{10}
через радиус R
его описанной окружности
Ответ. b^{2}-a^{2}=ab
, \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}
.
Решение. а)
Первый способ. На продолжении стороны AB
за вершину B
отложим отрезок BA'=BC=a
. Внешний угол при вершине B
равнобедренного треугольника A'BC
равен 72^{\circ}
, поэтому внутренние его углы при вершинах A'
и C
равны 36^{\circ}
. Равнобедренные треугольники ACA'
и CBA'
подобны по двум углам, значит, \frac{AA'}{CA'}=\frac{AC}{CB}
, или \frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}
. Следовательно,
a^{2}+ab=b^{2},~\mbox{или}~b^{2}-a^{2}=ab.
Второй способ. См. решение задачи 4197.
б)
Первый способ. Пусть правильный десятиугольник A_{1}A_{1}\dots A_{10}
вписан в окружность радиуса R
. Тогда A_{1}A_{6}=2R
— диаметр окружности, а равнобедренный треугольник A_{1}A_{7}A_{5}
подобен равнобедренному треугольнику ABC
из предыдущего пункта. Будем считать, что A_{1}A_{7}=A_{1}A_{5}=b
, A_{5}A_{7}=a
. Разделив обе части равенства b^{2}-a^{2}=ab
на b^{2}
, получим уравнение 1-\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a}{b}
, из которого находим, что \frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
. Тогда
\cos72^{\circ}=\cos\angle A_{1}A_{5}A_{7}=\frac{\frac{1}{2}A_{5}A_{7}}{AA_{1}A_{5}}=\frac{\frac{1}{2}a}{b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Следовательно, из прямоугольного треугольника A_{1}A_{5}A_{6}
находим, что
a_{10}=A_{5}A_{6}=A_{1}A_{6}\cos\angle A_{1}A_{6}A_{5}=A_{1}A_{6}\cos\angle A_{1}A_{7}A_{5}=2R\cdot\cos72^{\circ}=\frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}.
Второй способ. См. задачу 1494.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — n 148, с. 43