11867. Стороны треугольника с углами \alpha
, \beta
и \gamma
образуют арифметическую прогрессию, причём \alpha\lt\gamma\lt\beta
. Докажите, что:
а) \ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)
;
б) \ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}=3
.
Решение. Пусть AB=c
, AC=b
, BC=a
— стороны треугольника ABC
, противолежащие углам \gamma
, \beta
и \alpha
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
, I
— центр вписанной окружности треугольника, r
— её радиус, A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки касания со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда
a\lt c\lt b,~c=\frac{a+b}{2},
AB_{1}=AC_{1}=r\ctg\frac{\alpha}{2},~BA_{1}=BC_{1}=r\ctg\frac{\beta}{2},~CA_{1}=CB_{1}=r\ctg\frac{\gamma}{2},
при этом
c=AB=2p-(a+b)=2p-2c,
откуда c=\frac{2}{3}p
, а так как
BA_{1}+AB_{1}=BC_{1}+AC_{1}=AB=c=\frac{2p}{3},
то
2r\ctg\frac{\gamma}{2}=CA_{1}+CB_{1}=2p-2c=2p-\frac{4}{3}p=\frac{2}{3}p.
Значит,
2r\ctg\frac{\gamma}{2}=AB=r\ctg\frac{\alpha}{2}+r\ctg\frac{\beta}{2}.
Следовательно,
\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right).
б) Воспользуемся формулой
S_{\triangle ABC}=AC_{1}\cdot BC_{1}\ctg\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 4899).
Известно (см. задачу 452), что S_{\triangle ABC}=pr
, поэтому
AC_{1}\cdot BC_{1}\ctg\frac{\gamma}{2}=pr,~\mbox{или}~r\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot r\ctg\frac{\beta}{2}\cdot\ctg\frac{\gamma}{2}=pr.
Значит,
2r\ctg\frac{\gamma}{2}\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}=2p~\Rightarrow~\frac{2p}{3}\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot\ctg\frac{\beta}{2}=2p.
Следовательно, \ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}=3
.