11906. Через центр O
вписанной в треугольник ABC
окружности проведена прямая, параллельная AC
, которая пересекает его боковые стороны AB
и BC
в точках M
и K
соответственно. Вторая окружность вписана в треугольник MBK
и касается его стороны BM
в точке E
, а первая окружность касается стороны AB
в точке F
. Найдите EF
, если периметр треугольника MBK
равен 6, а AC=3
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть полупериметры подобных треугольников MBK
и ABC
равны p_{1}
и p
соответственно, а коэффициент подобия равен k
. Тогда (см. задачу 2602)
\frac{p_{1}}{p}=k=\frac{BE}{BF}.
Поскольку AO
и CO
— биссектрисы углов BAC
и ACB
, треугольники AMO
и CKO
равнобедренные, поэтому
MK=MO+OK=MA+KC,~
2p-2p_{1}=(AB+BC+AC)-(BM+BK+MK)=
=(AB-BM)+(BC-BK)+AC-MK=
=(AM+CK)+AC-MK=MK+AC-MK=AC=3,~
p-p_{1}=\frac{3}{2},
откуда
p=p_{1}+\frac{3}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.
Из подобия получаем
MK=k\cdot AC=\frac{p_{1}}{p}\cdot AC=\frac{3}{\frac{9}{2}}\cdot3=2.
Следовательно (см. задачу 219),
EF=BF-BE=(p-AC)-(p_{1}-MK)=\left(\frac{9}{2}-3\right)-(3-2)=\frac{1}{2}.