11909. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
. Площади треугольников AOB
и COD
равны. Найдите площадь треугольника AOD
, если известно, что AB=13
, BC=10
, CD=15
, DA=24
.
Ответ. \frac{720}{17}
.
Решение. Площади треугольников AOB
и COD
равны, поэтому BC\parallel AD
(см. задачу 4190), а так как BC\ne AD
, то четырёхугольник ABCD
— трапеция. Пусть CH
— её высота, а прямая, проведённая через точку C
параллельно боковой стороне AB
, пересекает основание AD
в точке K
. Поскольку ABCK
— параллелограмм, в треугольнике CDK
известны стороны
CD=15,~CK=AB=13,~DK=AD-AK=AD-BC=24-10=14.
По формуле Герона находим, что
S_{\triangle CDK}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
Тогда
CH=\frac{2S_{\triangle CDK}}{DK}=\frac{2\cdot84}{14}=12.
Значит,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH=17\cdot12=204.
У треугольников ABC
и ACD
равны высоты, проведённые из вершин B
и C
соответственно, поэтому отношение из площадей равно отношению оснований, т. е. \frac{BC}{AD}=\frac{10}{12}=\frac{5}{12}
, значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{5}{17}S_{ABCD}=\frac{5}{17}\cdot204=5\cdot12=60.
Треугольник AOD
подобен треугольнику COB
с коэффициентом \frac{AF}{BC}=\frac{12}{5}
, поэтому \frac{AO}{AC}=\frac{12}{17}
. Следовательно (см. задачу 3000),
S_{\triangle AOB}=\frac{AO}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{12}{17}S_{\triangle ABC}=\frac{12}{17}\cdot60=\frac{720}{17}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017, заключительный тур, 9 класс, № 8, вариант 5