11922. На диагонали AC
ромба ABCD
выбрана точка K
, удалённая от прямых AB
и BC
на расстояния 8 и 2 соответственно. Радиус вписанной в треугольник ABC
окружности равен 3. Найдите сторону ромба ABCD
и радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Ответ. \frac{9\sqrt{5}}{2}
, 5.
Решение. Точка K
лежит на основании AC
равнобедренного треугольника ABC
и удалена от прямых AB
и BC
на расстояния 8 и 2, значит, высота h
треугольника, опущенная на боковую сторону, равна сумме эти расстояний, т. е. h=10
(см. задачу 1877).
Пусть радиус окружности, вписанной в ромб ABCD
равен r
. Тогда
r=\frac{1}{2}h=5.
Пусть O
— центр ромба. Обозначим BC=AB=a
, OC=OA=b
. С одной стороны, площадь S
треугольника ABC
равна половине произведения его боковой стороны на высоту, опущенную на эту сторону, т. е. S=5a
; с другой стороны, эта площадь равна полупериметру треугольника, умноженному на радиус его вписанной окружности, т. е. S=3(a+b)
(см задачу 452). Значит, 5a=3(a+b)
, откуда b=\frac{2}{3}a
.
Отрезок BO
— высота равнобедренного треугольника ABC
. По теореме Пифагора
BO=\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{5}}{3}.
Тогда
S=OC\cdot BO=\frac{2}{3}a\cdot\frac{a\sqrt{5}}{3}=\frac{2a^{2}\sqrt{5}}{9}.
Из уравнения \frac{2a^{2}\sqrt{5}}{9}=5a
находим, что
a=\frac{5}{\frac{2\sqrt{5}}{9}}=\frac{45}{2\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{2}.