11926. На прямой, проходящей через центр O
окружности радиуса 12, взяты точки A
и B
, лежащие по разные стороны от точки O
, причём OA=15
, OB=13
. Из точек A
и B
проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой AB
. Найдите площадь треугольника ABC
, если C
— точка пересечения этих касательных.
Ответ. 336.
Решение. Первый способ. Пусть касательные, проведённые из точек A
и B
касаются окружности в точках K
и N
соответственно. Обозначим CK=CN=x
. Из прямоугольных треугольников AKO
и BNO
находим, что
AK=\sqrt{AO^{2}-OK^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9,
BN=\sqrt{BO^{2}-ON^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,
значит,
AC=AK+KC=9+x,~BC=BN+NC=5+x.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому CO
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1509)
\frac{AC}{CB}=\frac{AO}{OB},~\mbox{или}~\frac{9+x}{5+x}=\frac{15}{13},
откуда
x=21,~BC=9+x=9+21=30.
Из прямоугольного треугольника AKO
находим, что
\sin\angle BAC=\sin OAK=\frac{OK}{OA}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot28\cdot30\cdot\frac{4}{5}=336.
Второй способ. Пусть касательные, проведённые из точек A
и B
касаются окружности в точках K
и N
соответственно. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Из прямоугольных треугольников AKO
и BNO
находим, что
\sin\alpha=\frac{OK}{AO}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{ON}{BO}=\frac{12}{13}.
Тогда, так как углы BAC
и ABC
острые, то
\cos\alpha=\frac{3}{5},~\cos\beta=\frac{5}{13}.
Значит,
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=
=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{20}{65}+\frac{36}{65}=\frac{56}{65}.
Следовательно (см. задачу 2677),
S_{\triangle ABC}=\frac{AB^{2}\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}=\frac{28^{2}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}}{2\cdot\frac{56}{65}}=\frac{28^{2}\cdot48}{2\cdot56}=336.