11928. На стороне AC
треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны AB
и BC
в точках D
и E
соответственно. Угол EDC
равен 30^{\circ}
, AE=\sqrt{3}
, а площадь треугольника DBE
относится к площади треугольника ABC
как 1:2
. Найдите длину отрезка BO
, где O
— точка пересечения отрезков AE
и CD
.
Ответ. 2.
Решение. Точки D
и E
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому
\angle AEC=\angle ADC=90^{\circ},
значит, AE
и CD
— высоты треугольника ABC
, а O
— его ортоцентр. Вписанные углы CDE
и CAE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAE=\angle CDE=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника AEC
находим, что
AC=\frac{AE}{\cos30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2.
Обозначим \angle ABC=\beta
(\beta\lt90^{\circ}
как острый угол прямоугольного треугольника CDE
). Треугольник DBE
подобен треугольнику CBA
с коэффициентом k=\cos\beta
(см. задачу 19), значит,
\cos\beta=\sqrt{\frac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle CBA}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \beta=45^{\circ}
.
Пусть R
— радиус окружности с центром Q
, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\beta}=\frac{2}{2\sin45^{\circ}}=\sqrt{2}.
Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного на сторону AC
. Тогда M
— середина AC
(см. задачу 1676). Из прямоугольного треугольника CMQ
находим, что
QM=\sqrt{QC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4}CM^{2}}=\sqrt{2-1}=1.
Следовательно (см. задачу 1257)
BO=2QM=2\cdot1=2.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2014, заключительный тур, 11 класс, № 7