11975. Дан треугольник ABC
. На лучах AB
и AC
отметили соответственно точки A_{B}
и A_{C}
так, что AA_{B}=AA_{C}=BC
. Пусть A_{1}
— точка пересечения прямых BC
и A_{B}A_{C}
. Аналогично определяются точки B_{1}
и C_{1}
. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим AB=c
, AC=b
, BC=a
. Применив теорему Менелая к треугольнику ABC
и прямой, пересекающей его стороны AB
, AC
и BC
или их продолжения в точках A_{B}
, A_{C}
и A_{1}
соответственно (см. задачу 1622), получим
\frac{AA_{B}}{A_{B}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CA_{C}}{A_{C}A}=-1,~\mbox{или}~\frac{a}{c-a}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{b-a}{a}=-1
(все отрезки считаются направленными), откуда
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{a-c}{b-a}.
Аналогично,
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{b-a}{c-b},~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{c-b}{a-c}.
Тогда
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{a-c}{b-a}\cdot\frac{b-a}{c-b}\cdot\frac{c-b}{a-c}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке.