11993. Окружность проходит через вершину A
треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно и касается стороны BC
в её середине M
. Точки X
и Y
— середины отрезков BE
и CD
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника MXY
касается описанной окружности треугольника ADE
.
Решение. Докажем подобие треугольников XMY
и BAC
. Отрезки MX
и MY
— средние линии треугольников BCE
и BDC
, поэтому MX\parallel AC
и MY\parallel AB
, откуда \angle XMY=\angle BAC
, и MX=\frac{1}{2}CE
и MY=\frac{1}{2}BD
. Осталось доказать, что \frac{MX}{MY}=\frac{BA}{CA}
, или \frac{CE}{BD}=\frac{AB}{CA}
, или CA\cdot CE=BA\cdot BD
.
По теореме о касательной и секущей
AC\cdot CE=CA\cdot CE=BM^{2}=CM^{2}=BA\cdot BD.
Следовательно, треугольники XMY
и BAC
подобны по двум сторонам и углу между ними.
Из этого подобия получаем равенство соответствующих углов MXY
и ABC
, поэтому
\angle MXY=\angle ABC=\angle DBC=\angle YMC.
Значит (см. задачу 144), прямая BC
— касательная к описанной окружности треугольника XMY
. Итак, окружности рассматриваемые окружности имеют общую точку M
и общую касательную в этой точке. Следовательно, эти окружности касаются в этой точке (см. задачу 1759).
Автор: Доледенок А. В.
Источник: Турнир городов. — 2020-2021, XLII, весенний тур, основной вариант, 10-11 классы, № 2
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2021, LXXXIV, 9 класс, задача 4; задача 3, 10 класс