11995. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и CC_{1}
, H
— точка их пересечения, E
— середина отрезка CH
, M
— середина стороны AC
, T
— точка пересечения отрезков AE
и MA_{1}
. Докажите, что пятиугольник CMTEA_{1}
равновелик треугольнику ATA_{1}
.
Решение. Отрезок EM
— средняя линия треугольника ACH
, поэтому EM\parallel AH
. Тогда EM\parallel AA_{1}
, а четырёхугольник AA_{1}EM
— трапеция. Значит, S_{\triangle ETA_{1}}=S_{\triangle ATM}
(см. задачу 3017), а так как A_{1}M
— медиана треугольника ACA_{1}
, то S_{\triangle CMA_{1}}=S_{\triangle AMA_{1}}
(см. задачу 3001). Следовательно,
S_{CMTEA_{1}}=S_{\triangle CMA_{1}}-S_{\triangle TEA_{1}}=S_{\triangle AMA_{1}}-S_{\triangle ATM}=S_{\triangle ATA_{1}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 230, задача 3