12008. Докажите, что если треугольник подобен треугольнику, составленному из своих медиан, то квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, причём c\leqslant a\leqslant b
, а медианы, проведённые к этим сторонам, равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно. Тогда m_{c}\geqslant m_{b}\geqslant m_{a}
(см. задачу 3537). Значит, стороны a
, b
и c
данного треугольника пропорциональны сторонам соответственно m_{b}
, m_{a}
и m_{c}
треугольника из медиан, т. е. \frac{m_{b}}{c}=\frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{c}}{b}
.
Первый способ. Тогда \frac{m_{b}}{c}=\frac{m_{c}}{b}
, или
\frac{m_{b}^{2}}{c^{2}}=\frac{m_{c}^{2}}{b^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4c^{2}}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4b^{2}}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2a^{2}b^{2}+2c^{2}b^{2}-b^{4}=2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-c^{4}~\Leftrightarrow~b^{4}-c^{4}=2a^{2}(b^{2}-c^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2})=2a^{2}(b^{2}-c^{2}).
Если b\ne c
, то b^{2}+c^{2}=2a^{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Если же b=c
, то равенство \frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{c}}{b}
превращается в равенство \frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{b}}{b}
, или
\frac{m_{a}^{2}}{a^{2}}=\frac{m_{b}^{2}}{b^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4a^{2}}=\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4b^{2}}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2b^{4}+2b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=2a^{4}+2a^{2}c^{2}-2a^{2}b^{2}~\Leftrightarrow~b^{4}-a^{4}=2c^{2}(a^{2}-b^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(b^{2}-a^{2})(b^{2}+a^{2}+2c^{2})=0,
а так как b^{2}+a^{2}+2c^{2}\gt0
, то a^{2}=b^{2}=c^{2}
. Следовательно, и в этом случае квадраты сторон исходного треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Второй способ. Отношение площади треугольника, составленного из медиан данного, к площади данного треугольника равно \frac{3}{4}
(см. задачу 3033), поэтому \frac{m_{a}^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}
, или
\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4a^{2}}=\frac{3}{4}~\Leftrightarrow~2a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Другая формулировка доказанного утверждения: если треугольник подобен треугольнику, составленному из своих медиан, то этот треугольник автомедианный.
2. См. также статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.