12011. Дан параллелограмм ABCD
с тупым углом A
. Точка H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на BC
. Продолжение медианы треугольника ABC
, проведённой из вершины C
, пересекает описанную около него окружность в точке K
. Докажите, что точки K
, H
, C
и D
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на прямую AD
. Четырёхугольник AHBE
— прямоугольник, поэтому
\angle HED=\angle ABC=180^{\circ}-\angle BCD,
значит, точки D
, C
, H
, E
лежат на некоторой окружности \omega
(см. задачу 49).
Пусть M
— точка пересечения диагоналей прямоугольника AHBE
. Тогда точка M
лежит на отрезке CK
, и MA=MB=MH=ME
. Поскольку точки A
, K
, B
и C
лежат на одной окружности,
MK\cdot MC=MA\cdot MB=MH\cdot ME
(см. задачу 2627). Это равенство означает, что точки C
, K
, H
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 1114). Эта окружность описана около треугольника CHE
, а так как около любого треугольника можно описать единственную окружность, значит, она совпадает с окружностью \omega
. Следовательно, все четыре точки K
, H
, C
и D
лежат на окружности \omega
.