12012. В треугольнике ABC
точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— основания высот из вершин A
, B
, C
, точки C_{A}
и C_{B}
— проекции точки C_{1}
на AC
и BC
соответственно. Докажите, что прямая C_{A}C_{B}
делит пополам отрезки C_{1}A_{1}
и C_{1}B_{1}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай остроугольного треугольника. Пусть отрезки C_{A}C_{B}
и C_{1}A_{1}
пересекаются в точке M
. Точки C_{A}
и C_{B}
лежат на окружности с диаметром CC_{1}
, поэтому
\angle C_{A}C_{B}C=\angle C_{A}C_{1}C=90^{\circ}-\angle C_{A}CC_{1}=\angle A.
Точки C_{1}
и A_{1}
лежат на окружности с диаметром AC
, значит,
\angle C_{1}A_{1}B=180^{\circ}-\angle CA_{1}C_{1}=\angle A.
Следовательно, треугольник A_{1}MC_{B}
равнобедренный, и A_{1}M=C_{B}M
. Углы A_{1}C_{1}C_{B}
и C_{1}C_{B}M
дополняют равные углы C_{1}A_{1}C_{B}
и A_{1}C_{B}M
до 90^{\circ}
, значит, треугольник C_{1}MC_{B}
тоже равнобедренный, и C_{1}M=C_{B}M=A_{1}M
. Так же доказывается, что прямая C_{A}C_{B}
делит пополам и отрезок C_{1}B_{1}
. В случаях, когда один из углов треугольника тупой, углы вычисляются аналогично.
Второй способ. Основания перпендикуляров, опущенных из вершины треугольника на биссектрисы, проведённые из вершин двух других углов, лежат на средней линии (см. задачу 4694).
Высоты треугольника ABC
являются биссектрисами (внешних или внутренних) углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 533). Значит, перпендикулярные им стороны треугольника ABC
— биссектрисы дополнительных углов. Как сказано выше, основания CA
и CB
перпендикуляров, опущенных из вершины C_{1}
на AC
и BC
, лежат на средней линии треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, параллельной стороне A_{1}B_{1}
. А это и требовалось.