12056. Найдите углы треугольника ABC
, если известно, что его высота CD
и биссектриса BE
пересекаются в такой точке M
, что CM=2MD
, BM=ME
.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Решение. Отрезок BM
— биссектриса прямоугольного треугольника BCD
, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{BD}{BC}=\frac{DM}{MC}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
\angle BCD=30^{\circ},~\angle ABC=\angle DBC=60^{\circ}.
Опустим перпендикуляр EH
на прямую AB
. Тогда MD
— средняя линия треугольника BEH
, поэтому EH=2MD=CM
. Значит, MCEH
— параллелограмм, HM\parallel AC
, а так как HM
— медиана прямоугольного треугольника BEH
, проведённая из вершины прямого угла, то HM=\frac{1}{2}BE=BM
(см. задачу 1109). Треугольник BMH
равнобедренный, значит,
\angle BAC=\angle BHM=\angle HBM=\frac{1}{2}\angle CAD=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}.