12057. В треугольнике ABC
площадью S
точка K
— середина медианы AM
. Прямая BK
пересекает сторону AC
в точке L
. Найдите площадь треугольника AKL
.
Ответ. \frac{1}{12}S
.
Решение. Первый способ. Заметим, что S_{\triangle ABK}=\frac{1}{4}S
. Пусть P
— середина отрезка LC
. Тогда MP
— средняя линия треугольника BLC
, а KL
— средняя линия треугольника AMP
, поэтому
PC=LP=AL,~\mbox{т. е.}~AL=\frac{1}{3}BC.
Тогда
S_{\triangle ABL}=\frac{1}{3}S,~S_{\triangle AKL}=S_{\triangle ABL}-S_{\triangle AKB}=\frac{1}{3}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{12}{S}.
Второй способ. Через вершину A
параллельно BC
проведём прямую. Пусть продолжение отрезка BK
пересекает эту прямую в точке T
. Треугольники AKT
и MKB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AT=BM=\frac{1}{2}BC
. Из подобия треугольников ALT
и CLB
получаем
\frac{AL}{LT}=\frac{AT}{BC}=\frac{1}{2}.
Тогда \frac{AL}{AC}=\frac{1}{3}
. Отрезок AM
— медиана треугольника ABC
, поэтому S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}S
(см. задачу 3001). Следовательно (см. задачу 3000),
S_{\triangle AKL}=\frac{AK}{AM}\cdot\frac{AL}{AC}S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{12}S.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 1998, VIII, письменный индивидуальный командный тур, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1999, № 6, с. 40, задача 4