12060. В треугольнике ABC
угол A
равен 50^{\circ}
, а угол C
равен 70^{\circ}
. На сторонах AB
и BC
взяты соответственно такие точки D
и E
, что \angle ACD=\angle CAE=30^{\circ}
. Пусть M
— точка пересечения отрезков AE
и CD
. Найдите: а) угол ABM
; б) угол CDE
.
Ответ. 20^{\circ}
, 40^{\circ}
.
Решение. Поскольку
\angle ABC=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ},~\angle AMC=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}=2\angle ABC,
и при этом MA=MC
, а точки M
и B
лежат по одну сторону от прямой AC
, то M
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 2900). Тогда треугольник AMB
равнобедренный, следовательно,
\angle ABM=\angle BAM=\angle BAC-\angle MAC=50^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ}.
Поскольку
\angle DBE+\angle DME=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник BDME
вписанный (см. задачу 49), поэтому
\angle CDE=\angle MDE=\angle MBE=\angle MBC=\angle MCB=70^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}.